বাস্তব সংখ্যা সেট ও ফাংশন

বাস্তব সংখ্যা সেট ও ফাংশন

সেট(Set)

বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে । যেমন, বাংলা, ইংরেজী ও গণিত বিষয়ে তিনটি পাঠ্যবইয়ের সেট । প্রথম দশটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, পূর্ণসংখ্যার সেট, বাস্তব সংখ্যার সেট ইত্যাদি ।

সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর A,B,C……….X,Y,Z দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
যেমন, 2,4,6 সংখ্যা তিনটির সেট A={2,4,6}
সেটের প্রত্যেক বস্তু বা সদস্যকে সেটের উপাদান (element) বলা হয় । যেমন, B={a,b} হলে B সেটের উপাদান a এবং b; উপাদান প্রকাশের চিহ্ন ‘∈’.
∴ a ∈ B এবং পড়া হয় a , B এর সদস্য (a belong to B)
b ∈ B এবং পড়া হয় b , B এর সদস্য (b belong to B)
উপরের B সেটে c উপাদান নেই ।
∴ c ∉ B এবং পড়া হয় c , B এর সদস্য নয় (c does not belong to B)
সেট প্রকাশের পদ্ধতি (Method of describing Sets):
সেটকে দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয় । যথা : (১) তালিকা পদ্ধতি (Roster Method বা Tabular Method) এবং (২) সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method)
(১) তালিকা পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে দ্বিতীয় বন্ধনী { } এর মধ্যে আবদ্ধ করা হয় এবং একাধিক উপাদান থাকলে ‘কমা’ ব্যবহার করে উপাদাঙ্গুলোকে আলাদা করা হয় । যেমন, A={a,b}, B={2,4,6} C={নিলয়, তিশা , শুভ্রা} ইত্যাদি ।
(২) সেট গঠন পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ না করে উপাদান নির্ধারণের জন্য সাধারণ ধর্মের উল্লেখ থাকে । যেমন : A={x:x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা }, B={x: x নবম শ্রেণীর প্রথম পাঁচজন শিক্ষার্থী } ইত্যাদি ।
এখানে ‘:’ দ্বারা ‘এরূপ যেন’ বা সংক্ষেপে ‘যেন’ (such that) বোঝায় । যেহেতু এ পদ্ধতিতে সেটের উপাদান নির্ধারণের জন্য শর্ত বা নিয়ম (Rule) দেওয়া থাকে, এ জন্য এ পদ্ধতিকে Rule Method ও বলা হয় ।

উদাহরণ ১ । A= {7,14,21,28} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।

সমাধানঃ A সেটের উপাদানসমূহ 7,14,21,28

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান 7 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ 7 এর গুণিতক এবং 28 এর বড় নয় ।
∴ A={x:x,7 এর গুণিতক এবং x ≤ 28.}
উদাহরণ ২ । B={x:x, 28 এর গুণনীয়ক } সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।
সমাধানঃ এখানে, 28=1 × 28
= 2 × 14
= 4× 7
∴ 28 এর গুণনীয়কসমূহ 1,2,4,7,14,28
নির্ণেয় সেট B={1,2,4,7,14,28}
উদাহরণ ৩ । C = {x:x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x2 <18} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।
সমাধানঃ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহ 1,2,3,4,5,…………
এখানে, x = 1হলে, x2=12 = 1
x = 2 হলে, x2= 22 = 4
x = 3 হলে, x2= 32 = 9
x = 4 হলে, x2= 42 = 16
x = 5 হলে, x2= 52 = 25; যা 18 এর চেয়ে বড়
∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহ 1,2,3,4,
∴ নির্ণেয় সেট C = {1,2,3,4,}

সসীম সেট (Finite Set) :

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়, একে সসীম সেট বলে । যেমন, D = {x, y, z}, E = {3, 6, 9,…..,60}, F = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং 30 < x < 70} ইত্যাদি সসীম সেট । এখানে, D সেটে 3টি উপাদান, E সেটে 20টি উপাদান এবং F সেটে 9টি উপাদান আছে ।

অসীম সেট(Infinite Set) :

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না , একে অসীম সেট বলে । যেমন, A = {x : x বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা }, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4,….}, পূর্ণ সংখ্যার সেট
Z = {…..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…..}, মূলদ সংখ্যার সেট Q = {p/q : p ও q পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0 },
বাস্তব সংখ্যার সেট R ইত্যাদি অসীম সেট ।
উদাহরণ ৪ । দেখাও যে, সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট ।
সমাধান : স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,……..}
N সেট থেকে বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ নিয়ে গঠিত সেট A = {1, 3, 5, 7,…..}
জোড় ” ” ” ” ” B = {2, 4, 6, 8,…..}
3 এর গুণিতকসমূহের সেট C = {3, 6, 9, 12,….} ইত্যাদি ।
এখানে, N সেট থেকে গঠিত A, B, C সেটসমূহে উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়না । ফলে A, B, C অসীম সেট ।

∴ N একটি অসীম সেট ।
ফাঁকা সেট (Empty Set) : যে সেটের কোনো উপাদান নেই একে ফাঁকা সেট বলে । ফাঁকা সেটকে { } বা ∅ দ্বারা প্রকাশ করা হয় । যেমনঃ হলিক্রস স্কুলের তিনজন ছাত্রের সেট, {x ∈ N : 10 < x < 11}, {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং 23 < x < 29} ইত্যাদি ।
ভেন চিত্র (Venn-Diagram) : জন ভেন (১৮৩৪-১৮৮৩) সেটের কার্যবিধি চিত্রের সাহায্যে প্রবর্তন করেন । এতে বিবেচনাধীন সেটগুলোকে সমতলে অবস্থিত বিভিন্ন আকারের জ্যামিতিক চিত্র যেমন আয়তাকার ক্ষেত্র, বৃত্তাকার ক্ষেত্র এবং ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র ব্যবহার করা হয় । জনভেনের নামানুসারে চিত্রগুলো ভেন চিত্র নামে পরিচিত ।
উপসেট (Subset) :A = {a , b} একটি সেট । A সেটের উপাদান থেকে {a , b}, {a}, {b}সেটগুলো গঠন করা যায় । আবার, কনো উপাদান না নিয়ে ∅ সেট গঠন করা যায় ।
এখানে, গঠিত {a , b}, {a}, {b},∅ প্রত্যেকটি A সেটের উপসেট ।

সুতয়াং কোনো সেট থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায়, এদের প্রত্যেকটি সেটকে ঐ সেটের উপসেট বলা হয় ।

উপসেটের চিহ্ন ⊂ (Subset of) । যদি B সেট A এর উপসেট হয় তবে, B ⊂ পড়া হয় । B, A এর উপসেট অথবা B is a subset of A.উপরের উপসেটগুলোর মধ্যে {a, b}সেট A এর সমান ।
∴ প্রত্যেকটি সেট নিজের উপসেট ।
আবার, যেকোনো -3 সেট থেকে ∅ সেট গঠন করা যায় ।
∴ ∅ যেকোনো সেটের উপসেট ।
p = {1, 2, 3} এর Q = {1, 2, 3} এবং R = {1, 3} দুইটি উপসেট । আবার, P = Q
∴ Q ⊆ এবং R ⊂ P .
প্রকৃত উপসেট (Proper Subset) : কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম এদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে । যেমন, A = {3, 4, 5, 6} এবং B = {3, 5} দুইটি সেট । এখানে, B এর সব উপাদান A সেটে বিদ্যমান ∴ B ⊂ A
আবার, B সেটের উপাদান সংখ্যা A সেটের উপাদান সংখ্যার চেয়ে কম ।
∴ B , A এর একটি প্রকৃত উপসেট এবং B ⊆ A লিখে প্রকাশ করা হয় ।

উদাহরণ ৫ । P = {x, y, z} এর উপসেটগুলো লেখ এবং উপসেটগুলো থেকে প্রকৃত উপসেট বাছাই কর ।
সমাধানঃ দেওয়া আছে, P = {x, y, z}
P এর উপসেটসমূহ {x, y, z},{x, y},{x, z},{y, z},{x},{y},{z},∅ .
P এর প্রকৃত উপসেটসমূহ = {x, y},{x, z},{y, z},{x},{y},{z}.
সেটের সমতা (Equivalent Set) : দুই বা ততোধিক সেটের উপাধান একই হলে , এদেরকে সেটের সমতা বলা হয় । যেমনঃ A = {3,5,7} এবং B = {5,3,7} দুইটি সমান সেট এবং A = B চিহ্ন দ্বারা লেখা হয় ।
আবার, A = {3,5,7}, B = {5,3,3,7} এবং C = {7,7,3,5,5} হলে A,B ও C সেট তিনটি সমতা বোঝায় । অর্থাৎ, A = B = C
লক্ষণীয়, সেটের উপাধানগুলোর ক্রম বদলালে বা কোনো উপাধান পুনরাবৃত্তি করলে সেটের কোনো পরিবর্তন হয় না ।
সেটের অন্তর (Difference of Set) : মনে করি, A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং B = {3, 5} । সেট A থেকে সেট B এর উপধানগুলো বাদ দিলে যে সেটটি হয় তা {1,2,4} এবং লেখা হয় A\B বা A-B = {1,2,3,4,5} – {3,5} = {1,2,4}

সুতরাং, কোনো সেট থেকে অন্য একটি সেট বাদ দিলে যে সেট গঠিত হয় তাকে বাদ সেট বলে ।

উদাহরণ ৬ । p = { x:x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ } এবং Q = { x:x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12 } হলে p – Q নির্ণয় কর।
সমাধানঃ p = { x:x, 12 দেওয়া আছে এর গুণনীয়কসমূহ }
∴ p = { 1,2,3,4,6,12 }
আবার , Q ={x:x, 3 এর গুণিতক এবংx ≤ 12 }
এখানে, 12 পর্যন্ত 3 এর গুণিতকসমূহ 3,6,9,12
∴ Q = {3,6,9,12}
∴ p-Q = { 2,3,4,6,12 } – { 3,6,9,12 } = { 1,2,4 }
নির্ণয় সেট { 1,2,4 }
সার্বিক সেট (universal set)
আলোচনা সংশিষ্ট সকল সেট একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট । যেমনঃ A = {x,y} সেটটি B={ X,Y,Z } এর একটি উপসেট । এখানে, A সেটকে B সেটের সাপেক্ষে সর্বিক সেট বলে । সুতরাং আলোচনা সংশিষ্ট সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয় তবে ঐ নির্দিষ্ট সেটকে এর উপসেটগুলোর সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে। সার্বিক সেটকে সাধারণত U দ্বারা প্রকাশ করা হয় । তবে অন্য প্রতীকের সাহায্যেও সার্বেক সেট প্রকাশ করা যায় । যেমনঃ সকল জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট C = { 2,4,6…… } এবং সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={ 1,2,3,4 } হলে, C সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট হবে N ।

পূরক সেট (complement of a set) :

U সার্বিক সেট এবং সেটটি এর A উপসেট । A সেটের বহির্ভূত সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A সেটের পূরক সেট বলে । A এর পূরক সেটকে AC বা A’ দ্বারা প্রকাশ করা হয় । গাণিতিকভাবে AC = U \ A . মনে করি, P ও Q দুইটি সেট এবং Q সেটের যেসব উপাদান P নয়, ঐ উপাদানগুলোর সেটকে P এর প্রেক্ষিতে Q এর পূরক সেট বলা হয় QC= P \ Q .